Новосибирск
Novosibirsk
Новосибирск
Novosibirsk
Разработка и совершенствование методов математического моделирования биологических систем – актуальное направление математической биологии. В статье рассмотрена система общего вида дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными запаздывающими аргументами, широко используемая в качестве математического аппарата для описания и анализа динамики функционирования биологических систем практически на всех уровнях их организации. К основной особенности данного класса моделей относится то, что некоторые процессы, явно протекающие в биосистемах (например, стадии элонгации синтеза ДНК, РНК, белков), описываются в скрытой форме и в модели проявлены только через запаздывающие аргументы. В настоящей работе мы предлагаем алгоритм переписывания систем с постоянными запаздывающими аргументами в эквивалентной форме, представляющей систему дифференциальных уравнений в частных производных с уравнениями переноса. Алгоритм переписывания универсален, поскольку не накладывает каких-либо специальных условий на вид правых частей систем с запаздывающими аргументами. Предложенный алгоритм является многовариантным, т.е. позволяет по одной системе дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами выписывать несколько специальных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые на множестве решений эквивалентны исходной системе с запаздывающим аргументом. Полученные результаты демонстрируют, что постоянные запаздывающие аргументы и уравнения переноса с постоянными коэффициентами являются равноценными математическими аппаратами для описания всех типов динамических процессов переноса энергии и/или вещества в биологических, химических и физических системах. В то же время системы уравнений с частными производными позволяют описывать в явном виде, в форме уравнений переноса, те процессы, которые скрыты в запаздывающем аргументе. Это весьма важное свойство, если речь идет о моделировании молекулярно-генетических систем, в которых процессы синтеза ДНК, РНК и белков протекают с неравномерной скоростью и в определенных задачах требуют учета, что легко можно сделать в моделях, построенных с использованием математического аппарата частных производных.
Development and improvement of mathematical methods used in modeling biological systems represents a topical issue of mathematical biology. In this paper, we considered a general form of a system of first-order delayed differential equations, traditionally used for describing the function of biological systems of different hierarchical levels. The main feature of this class of models is that some inherent processes (for example, elongation of DNA, RNA, and protein synthesis) are described in a subtle form and can be explicitly specified only through delayed arguments. In this paper, we propose an algorithm for rewriting systems with constant delayed arguments in an equivalent form that represents a system of partial differential equations with transfer equations. The algorithm is universal, since it does not impose any special conditions on the form of the right-hand parts of systems with delayed arguments. The proposed method is a multivariant algorithm. That is, based on one system of differential equations with delayed arguments, the algorithm allows writing out a number of special systems of partial differential equations, which are equivalent to the original system with delayed argument in the entire solution set. The results obtained indicate that delayed arguments and transfer equations are equivalent mathematical tools for describing all types of dynamic processes of energy and/or matter transfer in biological, chemical, and physical systems, indicating a deep-level similarity between properties of dynamic systems, regardless of their origin. At the same time, those processes that are subtle when retarded argument is used can be explicitly described in the form of transfer equations using systems of partial differential equations. This property is extremely important for the modeling of molecular genetic systems in which processes of DNA, RNA, and protein synthesis proceed at variable rates and need to be considered in certain problems, what can easily be done in models constructed using the mathematical tool of partial derivatives.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.