Новосибирск
Novosibirsk
Москва
Moscow
Новосибирск
Novosibirsk
В 1940-х гг. К. Карунен и М. Лоев предложили метод обработки одномерного числового временного ряда через его преобразование в многомерный путем сдвига несколько раз подряд и разложения на несколько ортогональных временных рядов методом главных компонент (PCA). Предложенный метод ранее независимо возникал и применялся на практике под разными названиями (EOF, SSA, Гусеница и т. д.). Оказалось, что он универсальный, применим к любому временному ряду и, не требуя предположения стационарности, автоматически разлагает его на тренд, циклические составляющие и шум. В наши дни чаще всего используется название SSA (сингулярный спектральный анализ). В начале 1980-х гг. Ф. Такенс показал, что для динамической системы сдвиги только одной наблюдаемой переменной позволяют построить аттрактор всей системы, и тем самым подвел под SSA мощную теоретическую базу. Тогда же выяснилась практическая польза фазовых портретов, что было применено, в частности, при анализе и прогнозе динамики численности животных. В настоящей работе предлагается распространить SSA на одномерную последовательность элементов любого типа, включая числа, символы, фигуры и т. д., и в качестве частного случая – на молекулярную последовательность. Технически проблема решается практически тем же алгоритмом, что и SSA. Последовательность режется скользящим окном на фрагменты заданной длины. Между всеми фрагментами вычисляется матрица евклидовых расстояний. Это всегда возможно. Например, квадратный корень из p-дистанции (дистанции Хэмминга) является евклидовым расстоянием. Для полученной матрицы методом главных координат (PCo) вычисляются главные компоненты. Вместо расстояний можно использовать любые индексы сходства/различия и применить методы многомерного шкалирования (MDS). В итоге все равно будут получены главные компоненты в некотором евклидовом пространстве. Мы назвали этот метод PCA-Seq. Это, безусловно, разведочный метод, как и его частный случай SSA. Для любой последовательности, в том числе молекулярной, PCA-Seq без всяких дополнительных предположений позволяет получить ее главные компоненты в числовом виде и визуализировать их в виде графиков и фазовых портретов. Многолетний опыт применения SSA для числовых данных дает все основания полагать, что PCA-Seq окажется не менее полезным при анализе нечисловых данных, особенно при выдвижении гипотез. PCA-Seq реализован в свободно распространяемом пакете Jacobi 4 (http://jacobi4.ru/).
In the 1940s, Karhunen and Loève proposed a method for processing a one-dimensional numeric time series by converting it into multidimensional by shifts. In fact, a one-dimensional number series was decomposed into several orthogonal time series. This method has many times been independently developed and applied in practice under various names (EOF, SSA, Caterpillar, etc.). Nowadays, the name ‘SSA’ (Singular Spectral Analysis) is the most often used. It turned out that it is universal, applicable to any time series without requiring stationary assumptions, automatically decomposes time series into a trend, cyclic components and noise. By the beginning of the 1980s, Takens had shown that for a dynamical system such a method makes it possible to obtain an attractor from observing only one of these variables, thereby bringing the method to a powerful theoretical basis. In the same years, the practical benefits of phase portraits became clear. In particular, it was used in the analysis and forecast of animal abundance dynamics. In this paper we propose to extend SSA to a one-dimensional sequence of any type of elements, including numbers, symbols, figures, etc., and, as a special case, to a molecular sequence. Technically, the problem is solved using an algorithm like SSA. The sequence is cut by a sliding window into fragments of a given length. Between all fragments, the matrix of Euclidean distances is calculated. This is always possible. For example, the square root of the Hamming distance between fragments is a Euclidean distance. For the resulting matrix, the principal components are calculated by the principal-coordinate method (PCo). Instead of a distance matrix, one can use a matrix of any similarity/dissimilarity indexes and apply methods of multidimensional scaling (MDS). The result will always be PCs in some Euclidean space. We called this method ‘PCA-Seq’. It is certainly an exploratory method, as is its particular case SSA. For any sequence, in cluding molecular, PCA-Seq without any additional assumptions allows presenting its principal components in a numerical form and visualizing them in the form of phase portraits. A long history of SSA application for numerical data gives all reason to believe that PCA-Seq will be not less useful in the analysis of non-numerical data, especially in hypothesizing. PCA-Seq is implemented in the freely distributed Jacobi 4 package (http://jacobi4.ru/).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.