ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ АРГУМЕНТОВ И УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Разработка и совершенствование методов математического моделирования биологических систем – актуальное направление математической биологии. В статье рассмотрена система общего вида дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными запаздывающими аргументами, широко используемая в качестве математического аппарата для описания и анализа динамики функционирования биологических систем практически на всех уровнях их организации. К основной особенности данного класса моделей относится то, что некоторые процессы, явно протекающие в биосистемах (например, стадии элонгации синтеза ДНК, РНК, белков), описываются в скрытой форме и в модели проявлены только через запаздывающие аргументы. В настоящей работе мы предлагаем алгоритм переписывания систем с постоянными запаздывающими аргументами в эквивалентной форме, представляющей систему дифференциальных уравнений в частных производных с уравнениями переноса. Алгоритм переписывания универсален, поскольку не накладывает каких-либо специальных условий на вид правых частей систем с запаздывающими аргументами. Предложенный алгоритм является многовариантным, т.е. позволяет по одной системе дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами выписывать несколько специальных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые на множестве решений эквивалентны исходной системе с запаздывающим аргументом. Полученные результаты демонстрируют, что постоянные запаздывающие аргументы и уравнения переноса с постоянными коэффициентами являются равноценными математическими аппаратами для описания всех типов динамических процессов переноса энергии и/или вещества в биологических, химических и физических системах. В то же время системы уравнений с частными производными позволяют описывать в явном виде, в форме уравнений переноса, те процессы, которые скрыты в запаздывающем аргументе. Это весьма важное свойство, если речь идет о моделировании молекулярно-генетических систем, в которых процессы синтеза ДНК, РНК и белков протекают с неравномерной скоростью и в определенных задачах требуют учета, что легко можно сделать в моделях, построенных с использованием математического аппарата частных производных.

1. Bhat D., Gopalakrishnan M. Transport of organelles by elastically coupled motor proteins. Eur. Phys. J. E. 2016;39(7):71. DOI 10.1140/epje/i2016-16071-0.

2. Bocharov G.A., Rihan F.A. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations. J. Comput. Appl. Math. 2000;125(1-2): 183-199.

3. Busenberg S., Tang B. Mathematical models of the early embryonic cell cycle: the role of MPF activation and cyclin degradation. J. Math. Biol. 1994;32:573-596.

4. Dayananda P.W., Kemper J.T., Shvartsman M.M. A stochastic model for prostate-specific antigen levels. Math. Biosci. 2004;190(2): 113-126.

5. Demidenko G.V., Likhoshvai V.A. On differential equations with retarded argument. Siberian Mathematical Journal. 2005;46(3):417-430.

6. El’sgol’ts L.E., Norkin S.B. Vvedenie v teoriyu differentsial'nykh uravneniy s otklonyayushchimsya argumentom [Introduction to the Theory of Differential Equations with Deviating Argument]. Moscow: Nauka Publ., 1971;296. (in Russian)

7. Gelens L., Huang K.C., Ferrell J.E., Jr. How does the Xenopus laevis embryonic cell cycle avoid spatial chaos? Cell Rep. 2015;12(5): 892-900. DOI 10.1016/j.celrep.2015.06.070.

8. Gérard C., Goldbeter A. Entrainment of the mammalian cell cycle by the circadian clock: modeling two coupled cellular rhythms. PLoS Comput. Biol. 2012;8(5):e1002516. DOI 10.1371/journal.pcbi.1002516.

9. Harrison L.M., David O., Friston K.J. Stochastic models of neuronal dynamics. Philos. Trans. R. Soc. Lond. B. Biol. Sci. 2005; 360(1457):1075-1091.

10. Khlebodarova T.M., Kogai V.V., Fadeev S.I., Likhoshvai V.A. Chaos and hyperchaos in simple gene network with negative feedback and time delays. J. Bioinform. Comput. Biol. 2017;15(2):1650042. DOI 10.1142/S0219720016500426.

11. Kogai V.V., Khlebodarova T.M., Fadeev S.I., Likhoshvai V.A. Complex dynamics in alternative mRNA splicing systems: mathematical model. Vychislitelnye tekhnologii = Computational Technologies. 2015;20(1):38-52. (in Russian)

12. Kogai V.V., Likhoshvai V.A., Fadeev S.I., Khlebodarova T.M. Multiple scenarios of transition to chaos in the alternative splicing model. Int. J. Bifurcat. Chaos. 2017;27(2):1730006. DOI 10.1142/S0218127417300063.

13. Likhoshvai V.A., Fadeev S.I., Demidenko G.V., Matushkin Yu.G. Modeling of multistage synthesis of a substance without branching by an equation with a retarded argument. Sibirskiy zhurnal industrialnoy matematiki = Siberian Journal of Industrial Mathematics. 2004; 7(1):73-94. (in Russian)

14. Likhoshvai V.A., Fadeev S.I., Kogai V.V., Khlebodarova T.M. On the chaos in gene networks. J. Bioinform. Comput. Biol. 2013;11(1): 1340009. DOI 10.1142/S021972001340009.

15. Likhoshvai V.A., Kogai V.V., Fadeev S.I., Khlebodarova T.M. Alternative splicing can lead to chaos. J. Bioinform. Comput. Biol. 2015; 13:1540003. DOI 10.1142/S021972001540003X.

16. Likhoshvai V.A., Kogai V.V., Fadeev S.I., Khlebodarova T.M. Chaos and hyperchaos in a model of ribosome autocatalytic synthesis. Sci. Rep. 2016;6:38870. DOI 10.1038/srep38870.

17. Likhoshvai V.A., Matushkin Yu.G., Fadeev S.I. Problems of the theory of gene networks functioning. Sibirskiy zhurnal industrialnoy matematiki = Siberian Journal of Industrial Mathematics. 2003;6:64-80. (in Russian)

18. Lu H., Song H., Zhu H. A series of population models for Hyphantria cunea with delay and seasonality. Math. Biosci. 2017;292:57-66.DOI 10.1016/j.mbs.2017.07.010.

19. McIsaac R.S., Huang K.C., Sengupta A., Wingreen N.S. Does the potential for chaos constrain the embryonic cell-cycle oscillator? PLoS Comput. Biol. 2011;7:e1002109.

20. Monk N.A.M. Oscillatory expression of Hes1, p53, and NF-κB driven by transcriptional time delays. Curr. Biol. 2003;13(16):1409-1413.

21. Myshkis A.D. General theory of delay differential equations. Uspekhi matematicheskikh nauk = Advances in Mathematical Sciences. 1949;4(5(33)):99-141. (in Russian)

22. Nelson P.W., Murray J.D., Perelson A.S. A model of HIV-1 pathogenesis that includes an intracellular delay. Math. Biosci. 2000;163(2): 201-215.

23. Nelson P.W., Perelson A.S. Mathematical analysis of delay differential equation models of HIV-1 infection. Math. Biosci. 2002;179:73-94.

24. Risken H. The Fokker–Planck equation. Berlin: Springer, 1996.

25. Romond P.C., Rustici M., Gonze D., Goldbeter A. Alternating oscillations and chaos in a model of two coupled biochemical oscillators driving successive phases of the cell cycle. Ann. NY Acad. Sci. 1999;879:180-193.

26. Salapaka S., Rowchowdhury S., Salapaka M. Modeling and role of feedback controlled stochastic ratchets in cellular transport. Proc. of the 51st IEEE Conf. on Decision and Control. 2012;6426263:374-379.

27. Srividhya J., Gopinathan M.S. A simple time delay model for eukaryotic cell cycle. J. Theor. Biol. 2006;241:617-627.

28. Suzuki Y., Lu M., Ben-Jacob E., Onuchic J.N. Periodic, quasi-periodic and chaotic dynamics in simple gene elements with time delays. Sci. Rep. 2016;6:21037. DOI 10.1038/srep21037.

29. Yang Q., Ferrell J.E., Jr. The Cdk1-APC/C cell cycle oscillator circuit functions as a time-delayed, ultrasensitive switch. Nat. Cell Biol. 2013;15:519-525.