Метод главных компонент и его обобщения для последовательности любого типа (PCA-Seq)

В 1940-х гг. К. Карунен и М. Лоев предложили метод обработки одномерного числового временного ряда через его преобразование в многомерный путем сдвига несколько раз подряд и разложения на несколько ортогональных временных рядов методом главных компонент (PCA). Предложенный метод ранее независимо возникал и применялся на практике под разными названиями (EOF, SSA, Гусеница и т. д.). Оказалось, что он универсальный, применим к любому временному ряду и, не требуя предположения стационарности, автоматически разлагает его на тренд, циклические составляющие и шум. В наши дни чаще всего используется название SSA (сингулярный спектральный анализ). В начале 1980-х гг. Ф. Такенс показал, что для динамической системы сдвиги только одной наблюдаемой переменной позволяют построить аттрактор всей системы, и тем самым подвел под SSA мощную теоретическую базу. Тогда же выяснилась практическая польза фазовых портретов, что было применено, в частности, при анализе и прогнозе динамики численности животных. В настоящей работе предлагается распространить SSA на одномерную последовательность элементов любого типа, включая числа, символы, фигуры и т. д., и в качестве частного случая – на молекулярную последовательность. Технически проблема решается практически тем же алгоритмом, что и SSA. Последовательность режется скользящим окном на фрагменты заданной длины. Между всеми фрагментами вычисляется матрица евклидовых расстояний. Это всегда возможно. Например, квадратный корень из p-дистанции (дистанции Хэмминга) является евклидовым расстоянием. Для полученной матрицы методом главных координат (PCo) вычисляются главные компоненты. Вместо расстояний можно использовать любые индексы сходства/различия и применить методы многомерного шкалирования (MDS). В итоге все равно будут получены главные компоненты в некотором евклидовом пространстве. Мы назвали этот метод PCA-Seq. Это, безусловно, разведочный метод, как и его частный случай SSA. Для любой последовательности, в том числе молекулярной, PCA-Seq без всяких дополнительных предположений позволяет получить ее главные компоненты в числовом виде и визуализировать их в виде графиков и фазовых портретов. Многолетний опыт применения SSA для числовых данных дает все основания полагать, что PCA-Seq окажется не менее полезным при анализе нечисловых данных, особенно при выдвижении гипотез. PCA-Seq реализован в свободно распространяемом пакете Jacobi 4 (http://jacobi4.ru/).

1. Efimov V.M., Galaktionov Y.K. On the possibility of predicting cyclic changes in the abundance of mammals. Zhurnal Obshchey Biologii = Journal of General Biology. 1983;3:343-352. (in Russian)

2. Efimov V.M., Galaktionov Y.K., Galaktionova T.A. Reconstruction and prognosis of water vole population dynamics on the basis of tularemia morbidity among Novosibirsk oblast residents. Doklady. Biological Sciences. 2003;388(1/6):59-61.

3. Efimov V.M., Galaktionov Y.K., Shushpanova N.F. Analysis and Prediction of Time Series by the Principal Component Method. Novosibirsk: Nauka Publ., 1988. (in Russian)

4. Efimov V.M., Kovaleva V.Y., Efimov K.V. Principal Component Analysis for any type Sequences (PCA-Seq). In: Mathematical Modeling and High-Performance Computing in Bioinformatics, Biomedicine and Biotechnology (MM-HPC-BBB-2018): Proc. of the 3rd Int. Symp. Novosibirsk, 21–24 Aug 2018. Novosibirsk, 2018;20.

5. Efimov V.M., Melchakova M.A., Kovaleva V.Y. Geometric properties of evolutionary distances. Vavilovskii Zhurnal Genetiki i Selektsii = Vavilov Journal of Genetics and Breeding. 2013;17(4/1):714-723. (in Russian)

6. Golyandina N., Korobeynikov A., Zhigljavsky A. Singular Spectrum Analysis with R. (Ser. Use R!) Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2018.

7. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A.A. Analysis of Time Series Structure: SSA and Related Techniques. Chapman and Hall/CRC, 2001.

8. Golyandina N., Zhigljavsky A. Singular Spectrum Analysis for Time Series. Springer Science & Business Media, 2013.

9. Gower J.C. Some distance properties of latent root and vector methods used in multivariate analysis. Biometrika. 1966;53(3/4):325-338.

10. Jolliffe I.T., Cadima J. Principal component analysis: a review and recent developments. Phil. Trans. R. Soc. A. 2016;374:20150202.

11. Karhunen K. Über lineare methoden in der wahrscheinlich-keitsrechnung. Ann. Acad. Sci. Fennicea. 1947;Ser. A137.

12. Loève M. Fonctions Aléatoires de second order. In: Lévy P. (Ed.). Processus Stochastiques et Movement Brownien. Paris: Hermann, 1948.

13. Polunin D.A., Shtaiger I.A., Efimov V.M. Development of software system JACOBI 4 for multivariate analysis of microarray data. Vestnik Novosibirskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Seriya Informatsyonnye Tekhnologii = Vestnik NSU. Information Technology. 2014;12(2):90-98. (in Russian)

14. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. In: Dynamical Systems and Turbulence. Warwick, 1980. Berlin; Heidelberg: Springer, 1981;366-381.